Циклические подгруппы и группы


Оглавление
Введение
Теоретическая часть
1. Группы. Различные определения. Примеры
2. Свойства групп
3. Мультипликативные циклические подгруппы и группы
4. Аддитивные циклические подгруппы и группы
5. Теорема Лагранжа и следствия из нее
Заключение
Литература

Введение
Данная работа посвящена рассмотрению темы “Циклические подгруппы и группы”.
Теория групп – раздел общей алгебры, изучающий алгебраические структуры, называемые группами, и их свойства. Понятие группы возникло в результате формального описания симметрии и эквивалентности геометрических объектов. В эрлангенской программе Феликса Клейна изучение геометрии было связано с изфучением соответствующих групп преобразований.
Например, если заданы фигуры на плоскости, то группой движений выясняется их равенство. Одной из первых задач, приведших к возникновению теории групп, была задача получения уравнения степени m, которое имело бы корнями m корней данного уравнения степени n (m<n). Общую основу для теории уравнений, строящуюся на теории перестановок, в 1770-1771 гг. нашёл Лагранж, и на этой почве в дальнейшем выросла теория подстановок.
Паоло Руффини в 1799 г. предложил доказательство неразрешимости уравнений пятой и высших степеней в радикалах. Для доказательства он использовал понятия теории групп, хоть и называл их другими именами. Артур Кэли и Огюстен Луи Коши стали одними из первых математиков, оценивших важность теории групп. Эти учёные также доказали некоторые важные теоремы теории.
Современное определение понятия “группа” было дано только в 1882 г. Вальтером фон Дюком. В середине XX века была проведена огромная работа по классификации всех конечных простых групп.
Целью данной работы является изучение темы “Циклические подгруппы и группы”.
Задачи курсовой работы:
· Изучить и изложить элементы теории групп, подгрупп.
· Самостоятельно подобрать и выполнить упражнения практического характера.
Теоретическая часть

§ 1. Группы. Различные определения. Примеры
Определение 1. Алгебраическая система <A,*> называется группой, если А – полугруппа, в которой каждый элемент имеет нейтрализующий.
Определение 2. Алгебраическая система <A,*> называется группой, если бинарная операция “*” ассоциативна и обратима на множестве А.
Определение 3. Алгебраическая система <A,*> называется группой, если она удовлетворяет следующим условиям:
1) операция “*” ассоциативна;
2) существует нейтральный элемент е такой, что A * e = e * A = A;
3) для любого элемента а А существует обратный или нейтрализующий элемент б такой, что
а * б = б * а = е.
Определение 4. Группа <А, *> называется коммутативной или абелевой, если бинарная операция “*” коммутативна на множестве А.
Определение 5. Группа <А, *> называется конечной, если количество ее элементов конечно, и бесконечной, если количество ее элементов бесконечно.
Количество элементов конечной группы называется ее порядком.
Важные примеры групп:
1. Полная линейная группа n-ой степени над полем Р (Р = Q, R, C).
<GLn (P),. >, где GLn (P) = { (aij) nЧn: det (aij) ?0, aij P, i, j = }
2. Специальная линейная группа n-ой степени над полем Р (Р = Q, R, C).
<SLn (R),. >, где SLn (R) = { (aij) nЧn: det (aij) = 1, aij R, i, j = }
3. Группа кватернионов.
<Q8,. >, где Q8 = {±1, ±i, ±j, ±k}, i2 = j2 = k2 = – 1; ij = k, ki = j, jk = i, ji = – k, ik = – j, kj = – i, конечная группа 8-го порядка.
4. Группа преобразований.
< ?>, где – множество обратимых преобразований множества А,
А ?, “°” – суперпозиция (произведение, композиция) преобразований.
5. Группа подстановок n-ой степени или симметрическая группа <Sn,°> подстановок n-ой степени, где Sn – множество подстановок n-ой степени.
6. Знакопеременная группа <An,°> подстановок n-ой степени, где An – множество четных подстановок n-ой степени, An Sn, “°” – суперпозиция подстановок.
7. Четверная группа Клейна.
<V,°>,
где V = {e, a, b, c} A4 S4, A4 – знакопеременная группа подстановок 4-ой степени, S4 – симметрическая группа подстановок 4-ой степени.
8. Группа остатков по данному модулю или группа вычетов по данному модулю, или группа классов вычетов по данному модулю.

§ 2. Свойства групп
Пусть алгебраическая система <А,*> – группа.
Свойство 1. Бинарная операция “*” сократима в группе:
a, b, с A из равенств a * b = a * c (1), b * a = c * a (2) => b = c (3).
Доказательство.
(1) => (3)
a * b = a * c | * a’ слева
а’ * (a * b) = a’ * (a * c) =>ассоциативность “*” (a’ * a) * b = (a’ * a) * c =>условие 3 определения группы e * b = e * c =>условие 2 определения 3 группы b = c (3).
(2) => (3)
b * a = c * a (2) => b = c (3)
b * a = c * a | * a’ справа
(b * a) * a’ = (c * a) * a’ =>ассоциативность “*” b * (a * a’) = c * (a * a’) => условие 3 определения группы b * e = c * e =>условие 2 определения 3 группы b = c (3).
Свойство 2. Нейтральный элемент единственен.
Доказательство.
Пусть е, е1 – два нейтральных элемента группы. Покажем, что е1 = е.
Пусть а = е, е1 – нейтральный элемент группы А относительно операции “*”: е * е1 = е1 * е = е (1).
Пусть а = е1, е – нейтральный элемент группы А относительно операции “*”: е1 * е = е * е1 = е (2)
Из подчеркнутых равенств (1) и (2) видно, что е1 = е.
Свойство 3. Нейтрализующий для каждого элемента группы единственен.
Доказательство.
Пусть a’1, a’2 – два нейтрализующих элемента для а А. Справедливы равенства:
а * a’1 = a’1 * a = е (1), a’2 * a = a * a’2 = е (2)
Из подчеркнутых равенств (1) и (2) видно, что a’1 * a = a’2 * a => a’1 = a’2 = a’.
Свойство 4. Нейтрализующий для произведения двух элементов равен “произведению” нейтрализующих для сомножителей, взятых в другом порядке: (a * b) ‘ = b’ * a’.
Доказательство.
Справедливо равенство (a * b) * (b’ * a’). Действительно, в силу обобщенной ассоциативности, имеем a * (b * b’) * a’ = e свойство нейтрализующего элемента
a * e * a’ = e =>ассоциативность (a * e) * a’ = e =>свойство нейтрального элемента a * a’ = e =>свойство нейтрализующего элемента е = е.
Свойство 5. Нейтрализующий для нейтрализующего к элементу а равен самому элементу а.
Доказательство.
Справедливы равенства:
а * a’ = a’ * a = е (1) и а’ * (a’) ‘ = (a’) ‘ * a’ = е (2)
Из подчеркнутых равенств (1) и (2) видно, что
а * a’ = (a’) ‘ * a’ =>свойство 1 группы сократимость справа (a’) ‘ = a’.
Свойство 6. Уравнения a Ч x = b (1) и y Ч a = b (2) однозначно разрешимы. Иначе говоря, уравнения (1) и (2) имеют в группе единственное решение.
Доказательство.
а) Покажем, что уравнение (1) разрешимо:
а * х = b | * б слева
б * (a * x) = б * b =>ассоциативность “*” (б * a) * x = б * b =>свойство нейтрализующего e * x = б * b =>свойство нейтрального x = б * b => уравнение (1) разрешимо.
б) Покажем, что уравнение (1) однозначно разрешимо:
a * x = b | * б слева
б * (б * x) = б * b => (б * a) * x = б * b => e * x = б * b => x = б * b;
а * х = b | * б справа
(a * x) * б = b * б => a * (x * б) = b * б => a * e = b * б => x = b * б => уравнение (1) однозначно разрешимо.

§ 3. Мультипликативные циклические подгруппы и группы
Пусть А ? <А, ·> – мультипликативная группа,
Н – подмножество множества А, Н ?.
Определение 1. <Н,·> – называется подгруппоймультипликативнойгруппы А, если выполняются следующие условия:
1. Н – замкнуто относительно бинарной операции “*” а, b Н, ab H;
2. Существует еН = еА – единственный элемент относительно “°”;
3. а Н существует а-1 Н.
Определение 2. Если Н = А или Н = {е}, то <Н,·> – называется несобственной подгруппой группы А.
Если Н А, Н – собственное подмножество множества А, то подгруппа называется собственнойподгруппойгруппыА.
Н = А – сама группа А.
Н = {е} – единичная подгруппа.
циклическая подгруппа группа мультипликативная
Пример. Является ли <А, ·>, где А = {1, – 1, i, – i}, i – мнимая единица, группой?
Решение.
1) Проверим условия мультипликативной группы.
“·” – бинарная ассоциативная операция на множестве А.
Таблица Кэли для “·” на множестве А.

“·” 1 -1 i -i
1 1 -1 i -i
-1 -1 1 -i i
i i -i -1 1
-i -i i 1 -1

2) еН = 1 А: а А а Ч 1 = 1 Ч а = а;
3) а А а-1 А

Элемент 1 1 i -i
Нейтрализующий элемент 1 -1 -i i

<А, ·> – подгруппа.
Важным примером мультипликативных подгрупп являются так называемые мультипликативныециклическиеподгруппы.
Пусть <А, ·> – группа. Элемент е А – единичный элемент. Элемент а ? е, а А.
(а) – множество целых степеней элемента а: (а) = {х = аn: n Z, a A, a ? e}
Справедлива
Теорема 1. < (а), ·> является подгруппой группы <А, ·>.
Доказательство. Проверим условия мультипликативной подгруппы.
1) Н = (а) – замкнуто относительно “·”:
х = аn, y = al, n, e Z, x, y Н, xy = anal = an+l H, т. к. n + l Z;
2) e = 1 = a0 H, A: x H xa0 = a0x = x;
3) x = a H, x-1 = a-n Н: ana-n = a-nan = a0 = 1.
Из 1) – 3) по определению Н имеем < (а), ·> – подгруппа мультипликативной группы А.
Определение 3. Пусть <А, ·> – некоторая мультипликативная группа и
а ? е, а А.
Порядкомэлементаа называется наименьшее натуральное число n такое, что аn = е.
Пример. Найти порядки элементов а = – 1, b = i, c = – i мультипликативной группы А = {1; – 1; i; – i}
1: (-1) 1 = – 1, (-1) 2 = 1 = e. Следовательно,
n = 2 – порядок элемента – 1.
i: (i) 1 = i, (i) 2 = – 1, (i) 4 = 1 = e. Следовательно,
n = 4 – порядок элемента i.
i: (-i) 1 = – i, (-i) 2 = – 1, (-i) 4 = 1 = e. Следовательно,
n = 4 порядок элемента – i.
Теорема 2. Пусть <А, ·> – группа, а А, а ? е, а – элемент n-го порядка, тогда:
1) Подгруппа (а) группы А имеет вид: (а) = {а0 = е, а, а2, …, аn-1} –
n – элементное множество неотрицательных степеней элемента а;
2) Любая целая степень элемента аk, k Z, принадлежит множеству (а) и
ak = e <=> k = nq, n N, q Z.
Доказательство. Покажем, что все элементы (а) различны. Предположим противное: ak = al, k > l, тогда ak-l = e. k – l < n, что противоречит определению порядка элемента (а). В множестве (а) все элементы различны.
Покажем, что аk, К Z, принадлежит множеству (а).
Пусть k = n, k: n, ak = anq + r = ak Ч anq + r = (an) q Ч ar = eq Ч ar = e Ч ar = ar,
0 ? r ? n ? 1 => ak (a). Если r = 0, то k = nq <=> ak = e.
Определение 4. Подгруппа < (а), ·>, где (а) = {а0 = е, а, а2, …, аn-1}, группы А, а – элемент n-го порядка, называется циклическойподгруппойгруппыА (мультипликативной циклической подгруппой группы А).
Определение 5. Группа, совпадающая со своей подгруппой <А, ·>, < (а), ·>, мультипликативной циклической подгруппой, называется циклическойгруппой.
Теорема 3. Всякая мультипликативная циклическая группа является абелевой.
Доказательство. А = (а), а ? е, а – образующий элемент группы
ak, al A, ak Ч al = al Ч ak. Действительно, ak Ч al = ak+l = al+k = al Ч ak, l, k Z.

§ 4. Аддитивные циклические подгруппы и группы
Определение 1. Пусть <A,+> – аддитивная группа, Н – подмножество А,
Н ?.
<Н,+> называется подгруппой аддитивной группы А, если выполняются следующие условия:
1) Н замкнуто относительно “+”: a, b H, a + b H;
2) Существует еН = еА – нулевой элемент относительно операции сложения
3) а Н существует противоположный – а Н.
Пример 1.
<Q,+>, где Q – множество рациональных чисел, является группой рациональных чисел. Z Q, Z ? .
<Z,+> – подгруппа группы Q. Проверим выполнение условий аддитивной подгруппы:
1) Z замкнуто относительно “+”: a, b Z, a + b Z;
2) Существует еZ = еQ = 0 – нулевой элемент относительно операции сложения;
3) а Z существует противоположный – а Z.
Определение 2. Если Н = А и Н = {е}, то подгруппа <H,+> называется несобственнойподгруппой группы А.
Если Н А, то подгруппа <H,+> называется собственнойподгруппойгруппыА.
Пример 2.
Н1 = Q – несобственная подгруппа группы Q,
Н2 = {0} – несобственная (нулевая) подгруппа группы Q,
Н3 = Z – собственная подгруппа группы Q.
Пусть <A,+> – аддитивная группа.
Через (а) обозначим множество всех кратных элементов а А, а ? е:
(а) = {x = na: a Z}.
Справедлива
Теорема 1. < (a),+>, где (а) = {x = na: a Z}, является подгруппой группы А.
Доказательство.
Проверим выполнение условий аддитивной подгруппы:
1) (а) замкнуто относительно “+”:
х, у (а) х + у ? (а).
Действительно, пусть x = na, y = la, n, l Z.
x + y = na + la = (n + l) a (a), n + l Z.
2) Существует е (а) = еА = 0 Ч а = 0;
3) х (а) существует противоположный – х (а), x = na – x = – (na) = (-n) a (a).
Из 1) – 3) =>по определению < (a),+> – подгруппа группы А.
Определение 3. Пусть А – аддитивная группа, <A,+>, а А, а ? е. Порядкомэлементаа называется наименьшее натуральное число n, такое что na = e, е – нулевой элемент.
Определение 4. Подгруппа < (a),+> группы <A,+>, а – элемент n-го порядка, вида (а) = {0а, 1а, …, (n-1) а} называется аддитивнойциклическойподгруппойгруппыА,порожденнойэлементома.
Определение 5. Группа <A,+>, совпадающая со своей циклической подгруппой <A,+> = < (a),+>, называется циклическойгруппой. Элемент а называется образующимэлементом группы.
Теорема 2. Всякая аддитивная циклическая подгруппа абелева.
Доказательство.
<A,+> = < (a),+>, (a) = {na: n Z}.
na, ka (a) справедливо равенство na + ka = ka + na. Действительно,
na + ka = (n + k) a = (k + n) a = ka + na.

§ 5. Теорема Лагранжа и следствия из нее
Теорема Лагранжа. Пусть <А, ·> – конечная мультипликативная группа порядка n. Н – некоторая ее подгруппа порядка k. Индекс подгруппы Н в группе А и ее порядок являются делителями порядка группы. Иначе говоря, справедливо равенство: n = kЧl, l = A: H, l – индекс подгруппы.
Доказательство.
Запишем левостороннее разложение группы А по подгруппе Н.
А = Н а1Н … ае-1Н,
|A| = |H| + |а1Н| + … + |ае-1Н|,
|A| = n, |H| = k, n = k + k + … + k = kЧl.
l раз
Следствие 1. Порядок элемента а, а ? е, <А, ·> = < (а), ·> n-го порядка, является делителем порядка группы.
Следствие 2. Всякая циклическая группа <А, ·> = < (а), ·> простого порядка n = p имеет только две несобственные подгруппы:
Н1 = {e} – единичная подгруппа,
H2 = A – сама группа.
Следствие 3. Все циклические подгруппы циклической группы
<А, ·> = < (а), ·> n-го порядка имеют вид:
Hi = {a0 = e, ad, a2d, …, a (k-1) d}, i = 1, 2, …,
где d – любой натуральный делитель порядка группы n = kЧd,
k – порядок подгруппы.
Следствие 4. Все циклические подгруппы аддитивной циклической группы <Zn, +> n-го порядка имеют вид:
Нi = {0, d, 2d, …, (k-1) d}, i = 1, 2, …,
где d – любой натуральный делитель порядка группы n = kЧd, k – порядок подгруппы.
Практическая часть.
1. <Z, – > – группа? Если да, то является ли она коммутативной (абелевой)?
Решение.
1) Бинарная операция “-” не ассоциативна: a, b c Z
(a – b) – c ? a – (b – c) => <Z, – > не является группой,
<Z, – > – не группа.
2. А – множество целых чисел, кратных любому натуральному числу n относительно сложения.
Решение.
А = nZ = {x: x = nk, k Z, n N, n – фиксированное натуральное число}.
<A, +> – группа?
Решение.
1) Проверим, является ли “+” бинарной операцией на множестве А.
Пусть x = nk, y = nl, k, l Z x, y A.
x + y = nk + nl = n (k + l) A, k + l Z =? “+” – бинарная операция на множестве А.
Проверим, является ли “+” ассоциативной операцией на множестве А.
x, y, z, z = np, p Z,
(x + y) + z = x + (y + z). Действительно,
(nl + nk) + np = nk + (nl + np),
n (l + k) + np = nk + n (l + p) – это равенство выполняется, т. к. “+” целых чисел – ассоциативная операция => “+” ассоциативная операция на А.
2) Существует ли нейтральный элемент относительно “+”?
х А выполняются ли равенства х + е = е + х = х?
Рассмотрим равенство х + е = х
nk + e = nk, e = 0 = n0 A.
е – существует относительно “+”.
3) Существует ли х` А относительно операции “+”?
х + х` = х` + х = е?
Рассмотрим равенство х + х` = е.
х` = е – nk = n0 – nk = n (0 – k) = n (-k), – k Z => х` A x A
Из 1) – 3), по определению группы, => данная система является группой, аддитивной группой.
4) Проверим, является ли группа коммутативной.
х, у А выполняется ли равенство х + у = у + х?
nk + nl = nl + nk
n (k + l) = n (l + k) – выполняется, так как “+” – коммутативная операция на Z.
Из 1) – 4) => алгебраическая система <A, +> – коммутативная аддитивная группа.
3. <Q, ·> – группа?
Q = {x: x = m/n, m Z, n N}.
Решение.
1) Проверим, является ли умножение бинарной операцией на Q.
y = k/l, k Z, l N.
xy = m/n * k/l = mk/nl Q => “·” – бинарная операция на Q.
Проверим, является ли “·” ассоциативной операцией на Q.
z = p/q, p Z, q N, x, y, z Q: x · (y · z) = (x · y) · z?
Проверка: x · (y · z) = m/k · (k/l · p/q) = m/n · kp/lq = m/n · (kp/lq) = “·” ассоциативна на Z, N (mk) p/ (nl) q = mk/nl · p/q = (m/n · k/l) · p/q = (x · y) · z.
“·” ассоциативная операция на Q => 1) условие группы выполняется.
2) Существует ли нейтральный элемент относительно “·” на Q?
x · e = e · x = x? x Q, x · e = x, e = 1 Q
3) Существует ли х’ относительно операции “·” на Q?
x Q, х · х’ = х’ · х = е? х · х’ = е = 1,х · х’ = 1,х’= 1/x, x ? 0 => не выполняется, элемент х = 0 не имеет обратного.
<Q, ·> – не является группой.
4. <R\{0}, ·> – группа? Если да, является ли она абелевой?
Решение.
1) a, b R\{0} a · b = с R\{0} => “·” – бинарная операция на множестве R\{0};
a, b, c х R\{0}, a · (b · c) = (a · b) · c => “·” – ассоциативная операция на множестве R\{0} = R*.
2) Существует ли нейтральный элемент на множестве R\{0}?
a R*, а · е = е · а = а.
Рассмотрим равенство а · е = а, е = 1 R\{0} => существует е R\{0}.
3) Существуют нейтрализующий элемент а’?
a R*. а’ · а = а’ · а = е = 1, а’ = 1/а = х-1 ? R\{0}.
Из 1) – 3) => <R\{0}, ·> – группа.
4. Найти порядок a = (1243) S4
S4 – симметрическая группа подстановок 4 – ой степени.
an = e, n – натуральное.
a = ? e,
a2 = * = ? e,
a3 = * = ? e,
a4 = * = = e,
a4 = e, n = 4 – порядок группы.
5. S3 = {0 = e, 1, 2, …, 5}
1 = n =
n – ?, n = 1, 1 ? e, n = 2
12 = =
n = 2.
2 = n = e
n – ?, n = 1 – ?, 2 ? e, n = 2
22 = * = = e.

Заключение
В заключении своей курсовой работы хочу подвести итог. Работа выполнена согласно методическому плану. Цели и задачи курсовой работы достигнуты. Учебные вопросы, предположенные к раскрытию темы “Циклические подгруппы и группы” отработаны. Теоретическая часть написана с помощью анализа учебной литературы, приведены примеры, иллюстрирующие теоретический материал.
Тема “Циклические подгруппы и группы” в настоящее время является актуальной, т. к. теория групп – один из разделов общей алгебры.

Литература
1. Кострикин А. И. Введение в алгебру. Часть 1. Основы алгебры: учебник для вузов. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004.
2. Ильин В. А., Ким Г. Д. Линейная алгебра и аналитическая геометрия: учебник – М.: ТК Велби, издательство Проспект, 2007.
3. Нечаев И. В. Задачник-практикум по алгебре. – М.: Просвещение, 1983.
4. Куликов Л. Я. Алгебра и теория чисел. – М.: Высшая школа, 1979.
5. Курош А. Г. Курс высшей алгебры. – М.: Наука, 1977.
6. Глухов М. М., Солодовников А. С. Задачник-практикум по высшей алгебре. – М.: Просвещение, 1993.
7. Щипачев B. C. Основы высшей математики.4-е изд., стереотип. – М.: Высш. шк., 2001.
8. А. М. Кондрашов. Сборник зачетных заданий по линейной алгебре. Часть 1. – Кр-ск, РИО КГПУ, 2001.
9. Л. Я. Окунев. Высшая алгебра. – М.: Просвещение, 1966.
10. Ф. Л. Варнаховский, А. С. Солодовников. Алгебра. Часть 1 и 2. – М.: Просвещение, 1978.