Примерный расчёт и Краткий анализ характеристик электрического поля


Пояснительная записка к курсовой работе

Расчет и анализ характеристик электрического поля

Задание

1. Тема: Расчет и анализ характеристик электрического поля

2. Исходные данные к работе: k=1, z=4м, 2L=0,5м; 1м; 2м; 5м; 10м

3. Содержание пояснительной записки: аннотация, введение, теоретическая часть, расчетные формулы, таблицы вычислений, анализ и выводы, список использованной литературы

4. Перечень иллюстрационного и графического материала: 5 таблиц, 20 рисунков.

Аннотация

Пояснительная записка представляет собой отчет о выполнении курсового проекта на тему «Расчет и анализ характеристик электромагнитных полей». В тексте работы приводится теоретические сведения, рассматривается методика решения поставленной задачи проекта.

Курсовой проект представляет собой изучение характеристик поля по заданным распределением его источников, а также изучение распределения источников поля по заданным характеристикам поля. [1]. Расчет и анализ характеристик электрического поля таких как:

— сила, с которой электрическое поле действует в данной точке на положительный единичный заряд (напряженностью поля в данной точке).

— потенциал U электрического поля, создаваемого системой точечных зарядов q.

При выполнении курсовой работы было использовано современное программное обеспечение. Отчет оформлен в текстовом процессоре Microsoft Word-XP, обработка информации и ее графическое отображение производилось в программе Microsoft Excel.

Страниц 27, таблиц 6, рисунков 19.

The Summary

The explanatory slip represents the report about the performance of the course work on a theme «Calculation and analysis of electromagnetic field’s characteristics». In these work theoretical data are resulted and the decision methodic of a task in view is considered. And also construction of schedules based on cultivated data is carried out.

The course project is a study of the characteristics of the field for a given distribution of its sources, and the study of the distribution of field sources for the specified characteristics of the field. [1]. The calculation and analysis of the electric field as:

— The force with which the electric field acting at a given point on the positive unit charge. This characteristic is called the field strength at a given point.

— The potential U of the electric field created by a system of point charges q.

The modern software was used at work with the course project. The report is made out in a word — processor Microsoft Word XP, processing of the information and its graphic display were made in Microsoft Excel.

Pages 27, tables 6, pictures 19.

Оглавление

  • Введение
  • 1. Теоретические сведения
  • 2. Задание
  • 2.1 Исходные данные
  • 2.2 Вывод расчётных формул
  • 3. Решение задачи
  • 3.1 Расчёт для 2L=0,5 м, Z=4 м, k=1
  • 3.2 Расчёт для 2L=1 м, Z= 4 м, k=1
  • 3.3 Расчёт для 2L=2 м, Z=4 м, k=1
  • 3.4 Расчёт для 2L=5 м, Z= 4 м, k=1
  • 3.5 Расчёт для 2L=10 м, Z= 4 м, k=1
  • Заключение
  • Список используемой литературы

Введение

Геофизические методы решения геологических и других задач основаны на исследовании физических полей (гравитационного, магнитного, электромагнитного и др.), которые отражают свойства и строение изучаемых объектов. Поэтому «Теория поля» является теоретическим фундаментом основных геофизических методов.

Цель проведения курсовой работы по дисциплине «Теория поля» — закрепление полученных на лекциях знаний об основных понятиях теории поля, видах физических полей, их характеристиках, способах математического исследования и путях использования в разведочной геофизике.

Тема курсовой работы «Расчет и анализ характеристик электрического поля», в которой исследуется электрическое поле. Источником поля являются два положительных точечных заряда, равные по величине. Рассчитывались такие характеристики поля как:

— сила, с которой электрическое поле действует в данной точке на положительный единичный заряд. Эту характеристику называют напряженностью поля в данной точке.

— потенциал U электрического поля, создаваемого системой точечных зарядов q.

1. Теоретические сведения

В общем случае «поле» — это математическое понятие, эквивалентное понятию «функция точки пространства». Полагают, что поле задано, если в каждой точке пространства задана некоторая величина (функция).

Так как математические величины могут быть скалярами, векторами и тензорами, то и соответствующие поля называются скалярными, векторными и тензорными.

Скалярное поле задано в каждой точке пространства только одним числом (модулем величины и знаком), векторное поле — тремя числами (составляющими вектора), тензорное поле — более, чем тремя числами.

В частном случае, если исследуемая величина имеет физический смысл, то соответствующее поле является также и физическим.

Например, физическое поле температур является скалярным полем, электростатическое поле — векторным, поле упругих напряжений — тензорным.

Любой вид физического поля создается некоторыми источниками его. Например, электростатическое поле создается постоянными электрическими зарядами, распределенными в пространстве.

Предмет теории поля состоит из решения двух типов задач:

изучение характеристик поля, вызванного заданным распределением его источников («прямые» задачи теории поля),

изучение распределения источников поля по заданным характеристикам поля («обратные» задачи теории поля).

В практике разведочной геофизики широкое применение получили исследования различных полей — электрического, магнитного, электромагнитного, гравитационного, поля упругих напряжений (волн), полей радиоактивных излучений, теплового поля, поля концентраций и др.

Электромагнитное поле. Система дифференциальных уравнений Максвелла.

Уравнения связи.

Уравнения Максвелла в произвольной среде имеют вид [2, 3]

Уравнения связи (в изотропной среде)[2,3]:

Статическое электромагнитное поле.

Статическим электромагнитным полем называется поле неподвижных зарядов, когда выполняются условия [2, 3]:

т. е. источниками электрического поля в данном случае являются только электрические заряды, источниками магнитного — только токи проводимости. В данном случае электрические и магнитные поля независимы друг от друга, что и позволяет изучать отдельно постоянные электрические и магнитные поля.

В отличие от уравнений Максвелла для произвольного электромагнитного поля, для статического поля система уравнений Максвелла разделяется на две части: для электростатического (IIа) и для магнитостатического (IIб) [1, 2, 3]:

При решении систем дифференциальных уравнений Максвелла (I), (IIa), (IIб) или других на границах раздела сред необходимо выполнять граничные условия для векторов

При введении вспомогательных функций — потенциалов необходимо выполнять операцию нормирования их.

Например, из первого уравнения системы (IIa) для электростатического поля следует, что можно положить[3]:

где вспомогательная скалярная функция U называется потенциалом электростатического поля.

С учетом уравнения связи в изотропной среде имеем:

Подставляя выражение (2) во второе уравнение (IIa) в однородной среде (е=const), имеем:

Или можем записать данное уравнение через оператор набло

где [2, 3]

Таким образом, потенциал электростатического поля U в однородной среде в точках, где, подчиняется дифференциальному уравнению Пуассона (3), а в точках, где — дифференциальному уравнению Лапласа [1, 2, 3]:

.

В соответствии с законом Кулона [4,5] напряженность электрического поля точечного заряда в однородной среде с диэлектрической проницаемостью определяется выражением:

где — вектор, направленный из точечного заряда в точку измерения и по модулю равный расстоянию между этими точками.

Подставляя (5) в (1) и учитывая центральную симметрию поля, получим

интегрируя дифференциальное уравнение (6), найдем:

,

где С — произвольная постоянная.

Так как источник ограничен по размерам, используем нулевую нормировку потенциала на бесконечности, т. е. полагаем:

Подставляя выражение (7) в условие (8), находим:

С=0. (9)

В соответствии с условием (9) имеем из (7) выражение для нормированного потенциала точечного заряда в однородной среде:

Если имеется система точечных зарядов (i=1,2,3…,n), то согласно принципу суперпозиции, потенциал этой системы в какой-то точке пространства определяется выражением:

,

где — расстояние от i-го заряда до точки измерения.

2. Задание

Даны два точечных заряда q1 и q2 на расстоянии 2L в однородной среде с диэлектрической проницаемостью е = const.

Рисунок 1. Схема расположения зарядов в декартовой системе координат.

Введём декартову систему координат (рис.1) с центром, совпадающим с центром отрезка 2L. Ось X в плоскости y=0 направим от заряда q1 к заряду q2., ось Z — вертикально вверх, ось Y — нормально к плоскости XOZ.

Необходимо выполнить:

1. Рассчитать распределение потенциала электрического поля U в точке М, расположенной на расстоянии Z от оси ОX.

2. Рассчитать составляющие напряженности электрического поля Ex, Ег и Ez на профиле X при заданном значении Z.

3. Составить таблицы с рассчитанными данными и построить графики U(x), Ex(x), Ey(x), Ez(x).

4. Выполнить анализ полученных графиков и сделать выводы.

2.1 Исходные данные

1. — постоянный коэффициент, учитывающий знаки и величину зарядов;

k = 1. Это означает, что дано: два положительных заряда, одинаковых по знаку и величине.

2. Z — расстояние от точки М до оси ОХ в метрах;

3. 2L — расстояние между зарядами q1 и q2 в метрах.

2.2 Вывод расчётных формул

Источником электрического поля являются точечные заряды. Через поле осуществляется взаимодействие источников друг с другом. За характеристику поля принимают силу, с которой оно действует в данной точке на положительный единичный заряд. Эту характеристику называют напряженностью (Е) поля в данной точке и определяют по формуле:

,

где:

F — сила, с которой поле действует на заряд,

q — заряд.

В соответствии с законом Кулона [4,5] о взаимодействии точечных зарядов в однородной среде:

Находим потенциал U электрического поля, создаваемого точечным зарядом q по формуле (10):

,

где:

r — расстояние от заряда до точки, в которой определяется потенциал,

— диэлектрическая проницаемость.

Если среда однородная, то для системы точечных зарядов справедлив принцип суперпозиции: потенциал системы точечных зарядов равен сумме потенциалов каждого заряда и определяется выражением (11)

.

Потенциал для случая двух зарядов i=1,2:

.

И для того, чтобы учитывать только отношение зарядов, путем арифметических операций получим следующее выражение:

,

где — вспомогательный относительный потенциал.

Заменив отношение постоянным коэффициентом k, получаем:

.

Расстояние между зарядами по теореме Пифагора можно представить в виде:

,

,

где и расстояние от зарядов и соответственно до точки М (см. рис.1). Таким образом, итоговая формула для вспомогательного относительного потенциала электрического поля представлена в виде:

(1)

Для расчета напряженности электрического поля Е необходимо учесть выражение:

.

Но, так как помимо выполнения конечных расчетов, необходимо построить графики, то напряженность, так же как и потенциал, будем считать относительной. Таким образом, относительная напряженность электрического поля : [1, 2, 3]

.

Вертикальная составляющая напряженности электрического поля равна:

(2)

Так как электрическое поле симметрично относительно плоскости, при у=0, и, следовательно, составляющая напряженности электрического поля по оси Y равна:

Горизонтальная составляющая напряженности электрического поля равна:

(3)

Расчеты горизонтальной и вертикальной составляющих напряженности электрического поля, а также потенциала выполняются с помощью программы MS Excel и заносятся в таблицу. После получения расчетных данных с помощью Excel можно приступить к построению графиков распределения, и.

Для каждого расстояния 2L (5 значений) строятся графики зависимости потенциала электрического поля (5 графиков), горизонтальной (5 графиков) и вертикальной (5 графиков) составляющих напряженности электрического поля от расстояний Х между зарядами.

Так как мы взяли при расчетах относительные потенциалы и составляющие напряженности, то их значения на графиках и в таблицах указываются в условных единицах (у. е.). Расстояние Х задается приблизительно от -20 м до + 20 м для построения графиков в удобном масштабе.

3. Решение задачи

3.1 Расчёт для 2L=0,5 м, Z=4 м, k=1

Пример расчетов:

Таблица с рассчитанными данными:

Таблица 1

Рисунок 2. График зависимости относительного потенциала U’ электрического поля

Рисунок 3. График зависимости горизонтальной составляющей напряженности поля E’x от координаты х точки измерения

Рисунок 4. График зависимости вертикальной составляющей напряженности поля E’z от координаты х точки измерения

электрический поле заряд потенциал

3.2 Расчёт для 2L=1 м, Z= 4 м, k=1

Пример расчетов:

Таблица с рассчитанными данными:

Таблица 2

Рисунок 5. График зависимости относительного потенциала U’ электрического поля

Рисунок 6. График зависимости горизонтальной составляющей напряженности поля E’x от координаты х точки измерения

Рисунок 7. График зависимости вертикальной составляющей напряженности поля E’z от координаты х точки измерения

3.3 Расчёт для 2L=2 м, Z=4 м, k=1

Пример расчетов:

Таблица с рассчитанными данными:

Таблица 3

Рисунок 8. График зависимости относительного потенциала U’ электрического поля

Рисунок 9. График зависимости горизонтальной составляющей напряженности поля E’x от координаты х точки измерения

Рисунок 10. График зависимости вертикальной составляющей напряженности поля E’z от координаты х точки измерения

3.4 Расчёт для 2L=5 м, Z= 4 м, k=1

Пример расчетов:

Таблица с рассчитанными данными:

Таблица 4

Рисунок 11. График зависимости относительного потенциала U’ электрического поля

Рисунок 12. График зависимости горизонтальной составляющей напряженности поля E’x от координаты х точки измерения

Рисунок 13. График зависимости вертикальной составляющей напряженности поля E’z от координаты х точки измерения

3.5 Расчёт для 2L=10 м, Z= 4м, k=1

Пример расчетов:

Таблица с рассчитанными данными:

Таблица 6

Рисунок 14 График зависимости относительного потенциала U’ электрического поля

Рисунок 15. График зависимости горизонтальной составляющей напряженности поля E’x от координаты х точки измерения

Рисунок 16. График зависимости вертикальной составляющей напряженности поля E’z от координаты х точки измерения

Заключение

В результате курсовой работы были выполнены расчеты распределения потенциала и составляющих напряженности электрического поля и построение графиков для каждого расстояния 2L (0,5; 1; 2; 5; 10), Z= 4м, k=1.

Проинтерпретировав построенные графики можно сделать следующие заключения:

Рисунок 17 Совмещенные графики зависимости относительного потенциала U’ электрического поля

На графике потенциалов (U) видно, что при увеличении расстояния между зарядами, на графике появляются 2 максимума и минимум. Таким образом, можно четко выделить положение зарядов.

Рисунок 18. Совмещенные графики зависимости вертикальной составляющей напряженности поля E’z от координаты х точки измерения

Графики вертикальной составляющей напряженности похожи на графики U, но значения быстрее стремятся к нулю, чем значения U. При увеличении расстояния между зарядами, на графике появляются 2 максимума и минимум. Таким образом, можно четко выделить положение зарядов.

Рисунок 19. Совмещенные графики зависимости горизонтальной составляющей напряженности поля E’x от координаты х точки измерения

На графике горизонтальной составляющей напряженности, видно влияние зарядов друг на друга: заряды одноименные, следовательно отталкиваются, чем дальше расположены заряды тем меньше их влияние друг на друга, вследствие чего и появляется второй максимум и минимум. Заряды равные по значение это подтверждается тем, что минимумы и максимумы по модулю равны.

В общем, графики становятся более информативными при увеличении расстояния между зарядами.

Список используемой литературы

1. Кудрявцев Ю. И. Теория поля и её применение в геофизике. Учебник. Л. Недра, 2008 — 335 с.

2. Овчинников И. К. Теория Поля. Учебник для ВУЗов. М.: Недра, 2011, 312 с.

3. Путиков О. Ф. Лекции по теории поля (не опубликовано).

4. Савельев И. В. Курс общей физики. Учебник для ВТУЗов. В 3-х тт. Т.2. Электричество и магнетизм. Волны. Оптика 10-е изд. СПб.: Издательство «Лань», 2010, 496 с

5. Трофимова Т. И Курс физики. Учебное пособие для ВУЗов. 16-е изд. М.: Издательский центр «Академия», 2008, 560 с.

Если вы думаете скопировать часть этой работы в свою, то имейте ввиду, что этим вы только снизите уникальность своей работы! Если вы хотите получить уникальную курсовую работу, то вам нужно либо написать её своими словами, либо заказать её написание опытному автору:
УЗНАТЬ СТОИМОСТЬ ИЛИ ЗАКАЗАТЬ »