Циклические подгруппы и группы


МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ФГАОУ ВПО «ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Факультет естественнонаучного и математического образования

Кафедра математики, алгебры и математического анализа

КУРСОВАЯ РАБОТА

Циклические подгруппы и группы

Исполнитель: студентка 2 курса

факультета математики, информатики и физики

Щелчкова К. В.

Научный руководитель: ст. пр. Авдеева А. А.

Ростов-на-Дону

2013

Оглавление

  • Введение
  • Теоретическая часть
  • § 1. Группы. Различные определения. Примеры
  • § 2. Свойства групп
  • § 3. Мультипликативные циклические подгруппы и группы
  • § 4. Аддитивные циклические подгруппы и группы
  • § 5. Теорема Лагранжа и следствия из нее
  • Заключение
  • Литература

Введение

Данная работа посвящена рассмотрению темы «Циклические подгруппы и группы».

Теория групп — раздел общей алгебры, изучающий алгебраические структуры, называемые группами, и их свойства. Понятие группы возникло в результате формального описания симметрии и эквивалентности геометрических объектов. В эрлангенской программе Феликса Клейна изучение геометрии было связано с изфучением соответствующих групп преобразований.

Например, если заданы фигуры на плоскости, то группой движений выясняется их равенство. Одной из первых задач, приведших к возникновению теории групп, была задача получения уравнения степени m, которое имело бы корнями m корней данного уравнения степени n (m<n). Общую основу для теории уравнений, строящуюся на теории перестановок, в 1770-1771 гг. нашёл Лагранж, и на этой почве в дальнейшем выросла теория подстановок.

Паоло Руффини в 1799 г. предложил доказательство неразрешимости уравнений пятой и высших степеней в радикалах. Для доказательства он использовал понятия теории групп, хоть и называл их другими именами. Артур Кэли и Огюстен Луи Коши стали одними из первых математиков, оценивших важность теории групп. Эти учёные также доказали некоторые важные теоремы теории.

Современное определение понятия «группа» было дано только в 1882 г. Вальтером фон Дюком. В середине XX века была проведена огромная работа по классификации всех конечных простых групп.

Целью данной работы является изучение темы «Циклические подгруппы и группы».

Задачи курсовой работы:

· Изучить и изложить элементы теории групп, подгрупп.

· Самостоятельно подобрать и выполнить упражнения практического характера.

Теоретическая часть

§ 1. Группы. Различные определения. Примеры

Определение 1. Алгебраическая система <A,*> называется группой, если А — полугруппа, в которой каждый элемент имеет нейтрализующий.

Определение 2. Алгебраическая система <A,*> называется группой, если бинарная операция «*» ассоциативна и обратима на множестве А.

Определение 3. Алгебраическая система <A,*> называется группой, если она удовлетворяет следующим условиям:

1) операция «*» ассоциативна;

2) существует нейтральный элемент е такой, что A * e = e * A = A;

3) для любого элемента а А существует обратный или нейтрализующий элемент б такой, что

а * б = б * а = е.

Определение 4. Группа <А, *> называется коммутативной или абелевой, если бинарная операция «*» коммутативна на множестве А.

Определение 5. Группа <А, *> называется конечной, если количество ее элементов конечно, и бесконечной, если количество ее элементов бесконечно.

Количество элементов конечной группы называется ее порядком.

Важные примеры групп:

1. Полная линейная группа n-ой степени над полем Р (Р = Q, R, C).

<GLn (P),. >, где GLn (P) = { (aij) nЧn: det (aij) ?0, aij P, i, j = }

2. Специальная линейная группа n-ой степени над полем Р (Р = Q, R, C).

<SLn (R),. >, где SLn (R) = { (aij) nЧn: det (aij) = 1, aij R, i, j = }

3. Группа кватернионов.

<Q8,. >, где Q8 = {±1, ±i, ±j, ±k}, i2 = j2 = k2 = — 1; ij = k, ki = j, jk = i, ji = — k, ik = — j, kj = — i, конечная группа 8-го порядка.

4. Группа преобразований.

< ?>, где — множество обратимых преобразований множества А,

А ?, «°» — суперпозиция (произведение, композиция) преобразований.

5. Группа подстановок n-ой степени или симметрическая группа <Sn,°> подстановок n-ой степени, где Sn — множество подстановок n-ой степени.

6. Знакопеременная группа <An,°> подстановок n-ой степени, где An — множество четных подстановок n-ой степени, An Sn, «°» — суперпозиция подстановок.

7. Четверная группа Клейна.

<V,°>,

где V = {e, a, b, c} A4 S4, A4 — знакопеременная группа подстановок 4-ой степени, S4 — симметрическая группа подстановок 4-ой степени.

8. Группа остатков по данному модулю или группа вычетов по данному модулю, или группа классов вычетов по данному модулю.

§ 2. Свойства групп

Пусть алгебраическая система <А,*> — группа.

Свойство 1. Бинарная операция «*» сократима в группе:

a, b, с A из равенств a * b = a * c (1), b * a = c * a (2) => b = c (3).

Доказательство.

(1) => (3)

a * b = a * c | * a’ слева

а’ * (a * b) = a’ * (a * c) =>ассоциативность «*» (a’ * a) * b = (a’ * a) * c =>условие 3 определения группы e * b = e * c =>условие 2 определения 3 группы b = c (3).

(2) => (3)

b * a = c * a (2) => b = c (3)

b * a = c * a | * a’ справа

(b * a) * a’ = (c * a) * a’ =>ассоциативность «*» b * (a * a’) = c * (a * a’) => условие 3 определения группы b * e = c * e =>условие 2 определения 3 группы b = c (3).

Свойство 2. Нейтральный элемент единственен.

Доказательство.

Пусть е, е1 — два нейтральных элемента группы. Покажем, что е1 = е.

Пусть а = е, е1 — нейтральный элемент группы А относительно операции «*»: е * е1 = е1 * е = е (1).

Пусть а = е1, е — нейтральный элемент группы А относительно операции «*»: е1 * е = е * е1 = е (2)

Из подчеркнутых равенств (1) и (2) видно, что е1 = е.

Свойство 3. Нейтрализующий для каждого элемента группы единственен.

Доказательство.

Пусть a’1, a’2 — два нейтрализующих элемента для а А. Справедливы равенства:

а * a’1 = a’1 * a = е (1), a’2 * a = a * a’2 = е (2)

Из подчеркнутых равенств (1) и (2) видно, что a’1 * a = a’2 * a => a’1 = a’2 = a’.

Свойство 4. Нейтрализующий для произведения двух элементов равен «произведению» нейтрализующих для сомножителей, взятых в другом порядке: (a * b) ‘ = b’ * a’.

Доказательство.

Справедливо равенство (a * b) * (b’ * a’). Действительно, в силу обобщенной ассоциативности, имеем a * (b * b’) * a’ = e свойство нейтрализующего элемента

a * e * a’ = e =>ассоциативность (a * e) * a’ = e =>свойство нейтрального элемента a * a’ = e =>свойство нейтрализующего элемента е = е.

Свойство 5. Нейтрализующий для нейтрализующего к элементу а равен самому элементу а.

Доказательство.

Справедливы равенства:

а * a’ = a’ * a = е (1) и а’ * (a’) ‘ = (a’) ‘ * a’ = е (2)

Из подчеркнутых равенств (1) и (2) видно, что

а * a’ = (a’) ‘ * a’ =>свойство 1 группы сократимость справа (a’) ‘ = a’.

Свойство 6. Уравнения a Ч x = b (1) и y Ч a = b (2) однозначно разрешимы. Иначе говоря, уравнения (1) и (2) имеют в группе единственное решение.

Доказательство.

а) Покажем, что уравнение (1) разрешимо:

а * х = b | * б слева

б * (a * x) = б * b =>ассоциативность «*» (б * a) * x = б * b =>свойство нейтрализующего e * x = б * b =>свойство нейтрального x = б * b => уравнение (1) разрешимо.

б) Покажем, что уравнение (1) однозначно разрешимо:

a * x = b | * б слева

б * (б * x) = б * b => (б * a) * x = б * b => e * x = б * b => x = б * b;

а * х = b | * б справа

(a * x) * б = b * б => a * (x * б) = b * б => a * e = b * б => x = b * б => уравнение (1) однозначно разрешимо.

§ 3. Мультипликативные циклические подгруппы и группы

Пусть А ? <А, ·> — мультипликативная группа,

Н — подмножество множества А, Н ?.

Определение 1. <Н,·> — называется подгруппоймультипликативнойгруппы А, если выполняются следующие условия:

1. Н — замкнуто относительно бинарной операции «*» а, b Н, ab H;

2. Существует еН = еА — единственный элемент относительно «°»;

3. а Н существует а-1 Н.

Определение 2. Если Н = А или Н = {е}, то <Н,·> — называется несобственной подгруппой группы А.

Если Н А, Н — собственное подмножество множества А, то подгруппа называется собственнойподгруппойгруппыА.

Н = А — сама группа А.

Н = {е} — единичная подгруппа.

циклическая подгруппа группа мультипликативная

Пример. Является ли <А, ·>, где А = {1, — 1, i, — i}, i — мнимая единица, группой?

Решение.

1) Проверим условия мультипликативной группы.

«·» — бинарная ассоциативная операция на множестве А.

Таблица Кэли для «·» на множестве А.

«·»

1

-1

i

-i

1

1

-1

i

-i

-1

-1

1

-i

i

i

i

-i

-1

1

-i

-i

i

1

-1

2) еН = 1 А: а А а Ч 1 = 1 Ч а = а;

3) а А а-1 А

Элемент

1

1

i

-i

Нейтрализующий элемент

1

-1

-i

i

<А, ·> — подгруппа.

Важным примером мультипликативных подгрупп являются так называемые мультипликативныециклическиеподгруппы.

Пусть <А, ·> — группа. Элемент е А — единичный элемент. Элемент а ? е, а А.

(а) — множество целых степеней элемента а: (а) = {х = аn: n Z, a A, a ? e}

Справедлива

Теорема 1. < (а), ·> является подгруппой группы <А, ·>.

Доказательство. Проверим условия мультипликативной подгруппы.

1) Н = (а) — замкнуто относительно «·»:

х = аn, y = al, n, e Z, x, y Н, xy = anal = an+l H, т. к. n + l Z;

2) e = 1 = a0 H, A: x H xa0 = a0x = x;

3) x = a H, x-1 = a-n Н: ana-n = a-nan = a0 = 1.

Из 1) — 3) по определению Н имеем < (а), ·> — подгруппа мультипликативной группы А.

Определение 3. Пусть <А, ·> — некоторая мультипликативная группа и

а ? е, а А.

Порядкомэлементаа называется наименьшее натуральное число n такое, что аn = е.

Пример. Найти порядки элементов а = — 1, b = i, c = — i мультипликативной группы А = {1; — 1; i; — i}

1: (-1) 1 = — 1, (-1) 2 = 1 = e. Следовательно,

n = 2 — порядок элемента — 1.

i: (i) 1 = i, (i) 2 = — 1, (i) 4 = 1 = e. Следовательно,

n = 4 — порядок элемента i.

i: (-i) 1 = — i, (-i) 2 = — 1, (-i) 4 = 1 = e. Следовательно,

n = 4 порядок элемента — i.

Теорема 2. Пусть <А, ·> — группа, а А, а ? е, а — элемент n-го порядка, тогда:

1) Подгруппа (а) группы А имеет вид: (а) = {а0 = е, а, а2, …, аn-1} —

n — элементное множество неотрицательных степеней элемента а;

2) Любая целая степень элемента аk, k Z, принадлежит множеству (а) и

ak = e <=> k = nq, n N, q Z.

Доказательство. Покажем, что все элементы (а) различны. Предположим противное: ak = al, k > l, тогда ak-l = e. k — l < n, что противоречит определению порядка элемента (а). В множестве (а) все элементы различны.

Покажем, что аk, К Z, принадлежит множеству (а).

Пусть k = n, k: n, ak = anq + r = ak Ч anq + r = (an) q Ч ar = eq Ч ar = e Ч ar = ar,

0 ? r ? n ? 1 => ak (a). Если r = 0, то k = nq <=> ak = e.

Определение 4. Подгруппа < (а), ·>, где (а) = {а0 = е, а, а2, …, аn-1}, группы А, а — элемент n-го порядка, называется циклическойподгруппойгруппыА (мультипликативной циклической подгруппой группы А).

Определение 5. Группа, совпадающая со своей подгруппой <А, ·>, < (а), ·>, мультипликативной циклической подгруппой, называется циклическойгруппой.

Теорема 3. Всякая мультипликативная циклическая группа является абелевой.

Доказательство. А = (а), а ? е, а — образующий элемент группы

ak, al A, ak Ч al = al Ч ak. Действительно, ak Ч al = ak+l = al+k = al Ч ak, l, k Z.

§ 4. Аддитивные циклические подгруппы и группы

Определение 1. Пусть <A,+> — аддитивная группа, Н — подмножество А,

Н ?.

<Н,+> называется подгруппой аддитивной группы А, если выполняются следующие условия:

1) Н замкнуто относительно «+»: a, b H, a + b H;

2) Существует еН = еА — нулевой элемент относительно операции сложения

3) а Н существует противоположный — а Н.

Пример 1.

<Q,+>, где Q — множество рациональных чисел, является группой рациональных чисел. Z Q, Z ? .

<Z,+> — подгруппа группы Q. Проверим выполнение условий аддитивной подгруппы:

1) Z замкнуто относительно «+»: a, b Z, a + b Z;

2) Существует еZ = еQ = 0 — нулевой элемент относительно операции сложения;

3) а Z существует противоположный — а Z.

Определение 2. Если Н = А и Н = {е}, то подгруппа <H,+> называется несобственнойподгруппой группы А.

Если Н А, то подгруппа <H,+> называется собственнойподгруппойгруппыА.

Пример 2.

Н1 = Q — несобственная подгруппа группы Q,

Н2 = {0} — несобственная (нулевая) подгруппа группы Q,

Н3 = Z — собственная подгруппа группы Q.

Пусть <A,+> — аддитивная группа.

Через (а) обозначим множество всех кратных элементов а А, а ? е:

(а) = {x = na: a Z}.

Справедлива

Теорема 1. < (a),+>, где (а) = {x = na: a Z}, является подгруппой группы А.

Доказательство.

Проверим выполнение условий аддитивной подгруппы:

1) (а) замкнуто относительно «+»:

х, у (а) х + у ? (а).

Действительно, пусть x = na, y = la, n, l Z.

x + y = na + la = (n + l) a (a), n + l Z.

2) Существует е (а) = еА = 0 Ч а = 0;

3) х (а) существует противоположный — х (а), x = na — x = — (na) = (-n) a (a).

Из 1) — 3) =>по определению < (a),+> — подгруппа группы А.

Определение 3. Пусть А — аддитивная группа, <A,+>, а А, а ? е. Порядкомэлементаа называется наименьшее натуральное число n, такое что na = e, е — нулевой элемент.

Определение 4. Подгруппа < (a),+> группы <A,+>, а — элемент n-го порядка, вида (а) = {0а, 1а, …, (n-1) а} называется аддитивнойциклическойподгруппойгруппыА,порожденнойэлементома.

Определение 5. Группа <A,+>, совпадающая со своей циклической подгруппой <A,+> = < (a),+>, называется циклическойгруппой. Элемент а называется образующимэлементом группы.

Теорема 2. Всякая аддитивная циклическая подгруппа абелева.

Доказательство.

<A,+> = < (a),+>, (a) = {na: n Z}.

na, ka (a) справедливо равенство na + ka = ka + na. Действительно,

na + ka = (n + k) a = (k + n) a = ka + na.

§ 5. Теорема Лагранжа и следствия из нее

Теорема Лагранжа. Пусть <А, ·> — конечная мультипликативная группа порядка n. Н — некоторая ее подгруппа порядка k. Индекс подгруппы Н в группе А и ее порядок являются делителями порядка группы. Иначе говоря, справедливо равенство: n = kЧl, l = A: H, l — индекс подгруппы.

Доказательство.

Запишем левостороннее разложение группы А по подгруппе Н.

А = Н а1Н … ае-1Н,

|A| = |H| + |а1Н| + … + |ае-1Н|,

|A| = n, |H| = k, n = k + k + … + k = kЧl.

l раз

Следствие 1. Порядок элемента а, а ? е, <А, ·> = < (а), ·> n-го порядка, является делителем порядка группы.

Следствие 2. Всякая циклическая группа <А, ·> = < (а), ·> простого порядка n = p имеет только две несобственные подгруппы:

Н1 = {e} — единичная подгруппа,

H2 = A — сама группа.

Следствие 3. Все циклические подгруппы циклической группы

<А, ·> = < (а), ·> n-го порядка имеют вид:

Hi = {a0 = e, ad, a2d, …, a (k-1) d}, i = 1, 2, …,

где d — любой натуральный делитель порядка группы n = kЧd,

k — порядок подгруппы.

Следствие 4. Все циклические подгруппы аддитивной циклической группы <Zn, +> n-го порядка имеют вид:

Нi = {0, d, 2d, …, (k-1) d}, i = 1, 2, …,

где d — любой натуральный делитель порядка группы n = kЧd, k — порядок подгруппы.

Практическая часть.

1. <Z, — > — группа? Если да, то является ли она коммутативной (абелевой)?

Решение.

1) Бинарная операция «-» не ассоциативна: a, b c Z

(a — b) — c ? a — (b — c) => <Z, — > не является группой,

<Z, — > — не группа.

2. А — множество целых чисел, кратных любому натуральному числу n относительно сложения.

Решение.

А = nZ = {x: x = nk, k Z, n N, n — фиксированное натуральное число}.

<A, +> — группа?

Решение.

1) Проверим, является ли «+» бинарной операцией на множестве А.

Пусть x = nk, y = nl, k, l Z x, y A.

x + y = nk + nl = n (k + l) A, k + l Z =? «+» — бинарная операция на множестве А.

Проверим, является ли «+» ассоциативной операцией на множестве А.

x, y, z, z = np, p Z,

(x + y) + z = x + (y + z). Действительно,

(nl + nk) + np = nk + (nl + np),

n (l + k) + np = nk + n (l + p) — это равенство выполняется, т. к. «+» целых чисел — ассоциативная операция => «+» ассоциативная операция на А.

2) Существует ли нейтральный элемент относительно «+»?

х А выполняются ли равенства х + е = е + х = х?

Рассмотрим равенство х + е = х

nk + e = nk, e = 0 = n0 A.

е — существует относительно «+».

3) Существует ли х` А относительно операции «+»?

х + х` = х` + х = е?

Рассмотрим равенство х + х` = е.

х` = е — nk = n0 — nk = n (0 — k) = n (-k), — k Z => х` A x A

Из 1) — 3), по определению группы, => данная система является группой, аддитивной группой.

4) Проверим, является ли группа коммутативной.

х, у А выполняется ли равенство х + у = у + х?

nk + nl = nl + nk

n (k + l) = n (l + k) — выполняется, так как «+» — коммутативная операция на Z.

Из 1) — 4) => алгебраическая система <A, +> — коммутативная аддитивная группа.

3. <Q, ·> — группа?

Q = {x: x = m/n, m Z, n N}.

Решение.

1) Проверим, является ли умножение бинарной операцией на Q.

y = k/l, k Z, l N.

xy = m/n * k/l = mk/nl Q => «·» — бинарная операция на Q.

Проверим, является ли «·» ассоциативной операцией на Q.

z = p/q, p Z, q N, x, y, z Q: x · (y · z) = (x · y) · z?

Проверка: x · (y · z) = m/k · (k/l · p/q) = m/n · kp/lq = m/n · (kp/lq) = «·» ассоциативна на Z, N (mk) p/ (nl) q = mk/nl · p/q = (m/n · k/l) · p/q = (x · y) · z.

«·» ассоциативная операция на Q => 1) условие группы выполняется.

2) Существует ли нейтральный элемент относительно «·» на Q?

x · e = e · x = x? x Q, x · e = x, e = 1 Q

3) Существует ли х’ относительно операции «·» на Q?

x Q, х · х’ = х’ · х = е? х · х’ = е = 1,х · х’ = 1,х’= 1/x, x ? 0 => не выполняется, элемент х = 0 не имеет обратного.

<Q, ·> — не является группой.

4. <R\{0}, ·> — группа? Если да, является ли она абелевой?

Решение.

1) a, b R\{0} a · b = с R\{0} => «·» — бинарная операция на множестве R\{0};

a, b, c х R\{0}, a · (b · c) = (a · b) · c => «·» — ассоциативная операция на множестве R\{0} = R*.

2) Существует ли нейтральный элемент на множестве R\{0}?

a R*, а · е = е · а = а.

Рассмотрим равенство а · е = а, е = 1 R\{0} => существует е R\{0}.

3) Существуют нейтрализующий элемент а’?

a R*. а’ · а = а’ · а = е = 1, а’ = 1/а = х-1 ? R\{0}.

Из 1) — 3) => <R\{0}, ·> — группа.

4. Найти порядок a = (1243) S4

S4 — симметрическая группа подстановок 4 — ой степени.

an = e, n — натуральное.

a = ? e,

a2 = * = ? e,

a3 = * = ? e,

a4 = * = = e,

a4 = e, n = 4 — порядок группы.

5. S3 = {0 = e, 1, 2, …, 5}

1 = n =

n — ?, n = 1, 1 ? e, n = 2

12 = =

n = 2.

2 = n = e

n — ?, n = 1 — ?, 2 ? e, n = 2

22 = * = = e.

Заключение

В заключении своей курсовой работы хочу подвести итог. Работа выполнена согласно методическому плану. Цели и задачи курсовой работы достигнуты. Учебные вопросы, предположенные к раскрытию темы «Циклические подгруппы и группы» отработаны. Теоретическая часть написана с помощью анализа учебной литературы, приведены примеры, иллюстрирующие теоретический материал.

Тема «Циклические подгруппы и группы» в настоящее время является актуальной, т. к. теория групп — один из разделов общей алгебры.

Литература

1. Кострикин А. И. Введение в алгебру. Часть 1. Основы алгебры: учебник для вузов. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004.

2. Ильин В. А., Ким Г. Д. Линейная алгебра и аналитическая геометрия: учебник — М.: ТК Велби, издательство Проспект, 2007.

3. Нечаев И. В. Задачник-практикум по алгебре. — М.: Просвещение, 1983.

4. Куликов Л. Я. Алгебра и теория чисел. — М.: Высшая школа, 1979.

5. Курош А. Г. Курс высшей алгебры. — М.: Наука, 1977.

6. Глухов М. М., Солодовников А. С. Задачник-практикум по высшей алгебре. — М.: Просвещение, 1993.

7. Щипачев B. C. Основы высшей математики.4-е изд., стереотип. — М.: Высш. шк., 2001.

8. А. М. Кондрашов. Сборник зачетных заданий по линейной алгебре. Часть 1. — Кр-ск, РИО КГПУ, 2001.

9. Л. Я. Окунев. Высшая алгебра. — М.: Просвещение, 1966.

10. Ф. Л. Варнаховский, А. С. Солодовников. Алгебра. Часть 1 и 2. — М.: Просвещение, 1978.

Если вы думаете скопировать часть этой работы в свою, то имейте ввиду, что этим вы только снизите уникальность своей работы! Если вы хотите получить уникальную курсовую работу, то вам нужно либо написать её своими словами, либо заказать её написание опытному автору:
УЗНАТЬ СТОИМОСТЬ ИЛИ ЗАКАЗАТЬ »